Wurfzustand

Der Wurfzustand tritt ein, sobald die Kontaktbedingung nicht mehr erfüllt ist. Der Abwurfzeitpunkt wird mit t_abw bezeichnet. Ab diesem Zeitpunkt ist es zur Beschreibung der Fördergutbewegung zweckmäßig, von den Relativ- zu den Absolutkoordinaten zu wechseln, da sich das Förderorgan unabhängig vom Fördergut weiter bewegt. 

p_x ( t = t_abw ) = x ( t = t_abw ) + ξ ( t = t_abw ) ⋅ cos γ = p_x0

p_y ( t = t_abw ) = y ( t = t_abw ) + ξ ( t = t_abw ) ⋅ sin γ = p_y0

Dem Fördergut kann im Augenblick des Abhebens ebenfalls eine bestimmte Absolutgeschwindigkeit zugeordnet werden, die sich aus der Bewegung des Förderorgans und aus der Relativgeschwindigkeit bestimmen lässt.

Betrag und Richtung dieser Startgeschwindigkeit bestimmen den weiteren Bewegungsverlauf des Fördergutes bis zum erneuten Auftreffen auf das Förderorgan. Unter Vernachlässigung des Strömungswiderstandes kann diese Bewegung mittels einer Wurfparabel beschrieben werden.

Für die Horizontalbewegung ergibt sich:

ṗ_x (t) = ṗ_x0

p_x (t) = p_x0 + ṗ_x0 ( t - t_abw )

 Für die Vertikalbewegung ergibt sich:

ṗ_y (t) = ṗ_y0  - g ( t - t_abw )

Der Wurfzustand wird zum Auftreffzeitpunkt t = t_auf verlassen, wenn sich der Abstand zwischen der Wurfparabel des Gutes und der Bewegungsbahn des Förderorgans zu Null ergibt. Bei geneigtem Förderorgan ist zu beachten, dass sich eine horizontale Gutbewegung aufgrund
des Steigungswinkels γ ebenfalls auf diesen Abstand auswirkt. Der Auftreffzeitpunkt t = t_auf  berechnet sich damit unter Vernachlässigung von Strömungskräften aus der Gleichung:

p_y ( t - t_abw ) - y(t) + ( x(t) - x(t_abw) - ṗ_x0 ( t - t_abw ) ) ⋅ tan γ = 0

Mit dem Auftreffen des Fördergutes müssen neue Anfangsbedingungen für den nachfolgenden Bewegungszustand definiert werden.

Die Geschwindigkeit des Fördergutes in ξ -Richtung wird als Startwert (Anfangsbedingung) an die Bewegungsgleichungen für den neuen Zustand übergeben und wieder in die Relativkoordinate ξ transformiert. Die ξ -Richtung wird dabei durch den Neigungswinkel γ bestimmt. Der Betrag von dξ₀/dt setzt sich aus der Geschwindigkeit des Wurfanteils ṗ(t_auf)  und aus der Bewegung des Förderorgans ẋ(t_auf) und ẏ(t_auf) zum Auftreffzeitpunkt zusammen.

In der nachfolgenden Abbildung sind die Geschwindigkeiten als vektorielle Größen angetragen und zur Veranschaulichung anteilsmäßig zerlegt dargestellt. Die Auswirkung des Wurfanteils auf die Relativgeschwindigkeit ist links und der Anteil der überlagerten Bewegung des Förderorgans ist rechts abgebildet.

Diese Modellierung des Auftreffens basiert auf der Annahme, dass der Geschwindigkeitsanteil in Richtung der Normalen zur Förderebene keinen Einfluss auf die Relativgeschwindigkeit dξ₀/dt hat. Gerade mit steigender Betriebsfrequenz sinkt der wurfbedingte Anteil des Fördergutimpulses beim Stoßprozess, was augenscheinlich in Form einer zunehmenden Laufruhe des Fördergutes beobachtbar ist. Aus diesem Grund soll zur Vereinfachung der beim Auftreffen des Fördergutes übertragene Impuls unberücksichtigt bleiben und ein Nachspringen des Gutes ausgeschlossen werden. Diese Annahmen werden unter der zusätzlichen Bedingung getroffen, dass die Masse des Fördergutes deutlich geringer als die Masse des Förderorgans ist.

Damit ergibt sich nach der oben gezeigten Abbildung die Übergangsbedingung für die Relativgeschwindigkeit mit:

Wird davon ausgegangen, dass das Fördergut beim Aufschlag einen Teil seiner kinetischen Energie aufgrund energetisch dissipativer Prozesse verliert, so verändert sich die Relativgeschwindigkeit dξ₀/dt als Startwert des Folgezustandes. Die Relativgeschwindigkeit dξ₀/dt lässt sich dann nicht mehr allein mittels Vektorprojektion in der Förderebene ermitteln. Solche Stoßprozesse lassen sich beispielsweise über Feder-Dämpfermodelle beschreiben, bei denen das Gut beim Aufschlag eine endliche Beschleunigung erfährt, aus welcher schließlich eine erhöhte Reibkraft resultiert. Mit der Anwendung solcher Modellierungen erhöht sich jedoch der numerische Rechenaufwand um ein Vielfaches und zusätzliche fördergutspezifische Eingabeparameter werden notwendig. Wie bereits erwähnt, ist eine detaillierte Berücksichtigung komplexer Stoßvorgänge nur mittels aufwendiger Mehrkörpersimulationen möglich, die auch dann lediglich fördergutspezifische Aussagen liefern.

Um energetisch dissipative Prozesse wenigstens näherungsweise berücksichtigen zu können, wird der Pralldämpfungsfaktor ϑ_P eingeführt. Dieser Faktor bezeichnet den Anteil der Relativgeschwindigkeit, der nach einem Aufprall von der durch Vektorprojektion erhaltenen Relativgeschwindigkeit verloren geht. Wird also ein Pralldämpfungsfaktor mit ϑ_P = 0,1 angenommen, geht man davon aus, dass die Relativgeschwindigkeit dξ₀/dt als Übergangsbedingung nach dem Aufprall um 10% geringer ist, als die durch Vektorprojektion erhaltene Geschwindigkeit nach oben gezeigter Abbildung.

Unter Einbeziehung des Pralldämpfungsfaktors ergibt sich die Übergansbedingung der Relativgeschwindigkeit mit: