Das Modell des EinMassenSchwingers

 

Anhand eines Schwingers mit einem Freiheitsgrad lassen sich bereits viele schwingungsrelevante Phänomene studieren. Solche Systeme werden meist als EinMassenSchwinger oder als harmonischer Oszillator bezeichnet und es genügt eine einzige Koordinate um das zeitliche Bewegungsverhalten genau zu beschreiben. Wie bereits aus den Grundlagen der technischen Mechanik (speziell der Dynamik oder Schwingungslehre) bekannt, kann ein EinMassenSchwinger mit Hilfe der folgenden Symbolik dargestellt werden.

EinMassenSchwinger

Die reibungsfrei geführte Masse m ist über eine lineare Feder der Steifigkeit c und einen geschwindigkeitsproportionalen Dämpfer mit der Dämpfungskonstante b mit einer festen Einspannung verbunden. Erregt wird die Masse über eine zeitlich veränderliche Kraft F(t).Die Reaktion der Masse  (Bewegung) wird durch die Koordinate q(t) beschrieben.

Das Freischneiden der schwingenden Masse ermöglicht die Visualisierung der angreifenden Kräfte. In den weiteren Betrachtungen werden zur Beschreibung des zeitlichen Bewegungsverhaltens die generalisierten Koordinaten qn verwendet. Diese lassen sich jederzeit in die globalen Koordinaten x und y überführen.

Angreifende Kräfte, Modell EInMassenSchwinger

Um bei der Modellbildung die an der Masse angreifenden Kräfte richtig anzutragen, sollte der folgende Hinweis beachtet werden.

!!! Die Trägheitskräfte der Massen werden stets entgegen der positiv definierten Koordinatenrichtung angetragen.

Lenkt man die Masse in positiv definierter Koordinatenrichtung aus, impliziert dies eine Federkraft, die dieser Auslenkung entgegen wirkt. Findet die Auslenkung „schnell" statt, kann man sich vorstellen, dass der Dämpfer ebenfalls der Bewegungsrichtung der Masse entgegenwirkt (als anschauliches Beispiel dienen z.B. Dämpfungssysteme an Haustüren).  Diese Kräfte sind daher ebenfalls entgegen der positiv definierten Koordinatenrichtung anzutragen. Die erregende Kraft  wird als positiv definiert, wenn diese in positiv definierter Koordinatenrichtung wirkt und kann auf diese Weise als Auslenkungsreferenz betrachtet werden. Das Feder-Masse-System steht zu jedem Zeitpunkt  im Gleichgewicht und kann somit über die folgende Differentialgleichung beschrieben werden.

Bewegungsgleichung des EinMassenSchwingers