Eigenfrequenzen

Bei konservativen Schwingern (es treten keine Energieverluste auf z.B. durch Reibung) ist die Matrix M und die Matrix C stets symmetrisch zu ihrer Hauptdiagonalen. Die Massenmatrix  ist zudem noch positiv definit, d.h. ihre Eigenwerte sind in jedem Fall positiv und reell.

Die generalisierte und zeitabhängige Koordinate q(t) kann nach BERNOULLI in einen zeitunabhängigen Term und einen zeitabhängigen Term zerlegt werden.

Somit gilt:

BERNOULLI Zerlegung

Durch Einsetzen in die Bewegungsgleichung erhält man:

Formel

Die Eigenwerte ωi der Matrix entsprechen den Eigenkreisfrequenzen des Systems und die Vektoren qi können als zugehörige Eigenschwingformen interpretiert werden.

Um allgemein gültige Aussagen über Feder-Masse-Systeme zu erhalten, ist es sinnvoll, die Massenmatrix M und die Steifigkeitsmatrix  C dimensionslos anzugeben. Dies führt zu den dimensionslosen Matrizen M* und C*.

Dimensionslose Massen- und Steifigkeitsmatrix

Auf diese Weise kann das Modell über Massen- und Steifigkeitsverhältnisse der Teilschwingsysteme zueinander beschrieben werden und ist nicht mehr von fallspezifischen Parameterkonfigurationen abhängig.

Matrix

 

Im Hinblick auf eine Dimensionierung im konkreten Anwendungsfall eines Zweimassenschwingförderers ist es sinnvoll, als Bezugsgrößen die Masse des Förderorgans und die Steifigkeit dessen Federaufhängung zu verwenden. Dies entspricht den Parametern  c2 und m2.

Das Eigenwertproblem wird somit durch die dimensionslosen Werte λi bestimmt mit:

Charakteristisches Polynom

Die Eigenwerte und die daraus resultierenden Eigenkreisfrequenzen des Systems werden der Größe nach geordnet.

0<ω12...

Die Lage der dimensionslosen Eigenwerte (Eigenkreisfrequenzen) in Abhängigkeit der Steifigkeits- und Massenverhältnisse lässt sich dreidimensional anschaulich darstellen.

Lagen der Eigenfrequenzen eines ZweiMassenSchwingers