Bewegungen höherer Ordnung
Das Wirkprinzip solcher speziellen Ausführungen basiert meist entweder auf der Ausnutzung des Unterschiedes zwischen Haft- und Gleitreibung oder der Geschwindigkeitsabhängigkeit der Gleitreibung selbst. Die Vereinfachung der tatsächlichen Bewegung des Förderorgans auf eine harmonische Bewegung 1. Ordnung würde das gesamte Funktionsprinzip ad absurdum führen. Selbst Vibrationsförderer, die auf komplexen Federelementen gelagert sind, können enorme Abweichungen von harmonischen Bewegungsformen aufweisen. Vor allem wenn lineare Federelemente in mehrere Richtungen gleichzeitig deformiert werden, können solche Effekte auftreten.
Die resultierenden Bewegungsformen bleiben zwar periodisch, jedoch nicht mehr in 1. Ordnung harmonisch. Um zweidimensionale Bewegungsformen von Förderorganen verallgemeinert zu beschreiben, soll eine Eigenschaft periodischer Signale genutzt werden. Für jedes periodische Signal besteht die Möglichkeit es als unendliche Reihe harmonischer bzw. trigonometrischer Funktionen darzustellen. Für die harmonischen Bewegungen 1. Ordnung genügen zur vollständigen Beschreibung der Bewegungsform vier Parameter Cx , Cy , φ und Ω.
Bewegungsformen höherer bzw. k -ter Ordnung lassen sich wie folgt darstellen:
Die allgemeine Darstellung einer Bewegungsform in Form von trigonometrischen Reihen weist für die nachfolgenden Betrachtungen zahlreiche Vorteile auf. Es lässt sich nahezu jede denkbare Geometrie konstruieren, wobei schon mit einer geringen Anzahl von Reihengliedern ( n ≤ 5 ) sehr gute Annäherungen an experimentell aufgenommene Schwingbilder erzielt werden können. Außerdem sind die trigonometrischen Funktionen stetig und einfach analytisch differenzierbar, was die problemlose Verwendung der Funktionen in einem numerischen Simulationsprogramm ermöglicht.
In der nachfolgenden Abbildung ist beispielhaft eine zweidimensionale Bewegungsform dargestellt, die sich aus der Überlagerung einer harmonischen Bewegung in x- und einer nichtharmonischen Bewegung in y-Richtung ergibt. Dieser Verlauf wird als Original bezeichnet. Die y-Komponente der Bewegung entspricht quadratischen Parabeln, die sich aus zwei unterschiedlichen konstanten Beschleunigungen in vertikaler Richtung ableiten. Gleichzeitig ist die Näherung dieser Verläufe mittels einer 5-gliedrigen trigonometrischen Reihe abgebildet, welche mittels einer diskreten Fourier-Transformation ermittelt wurde.
Diese Darstellungsform weist zusätzlich den Vorteil auf, dass unstetige Verläufe, speziell der Geschwindigkeit oder der Beschleunigung, „verstetigt“ werden. Somit können selbst theoretisch konstruierte Bewegungen in guter Näherung untersucht werden, die auf abschnittsweise definierten Funktionen beruhen.
Auch für die Auswertung experimenteller Untersuchungen ergeben sich daraus zahlreiche Vorzüge. Aufgezeichnete Bewegungsformen können effizient und eindeutig in beliebiger Ordnungstiefe mittels diskreter Fourier-Transformation bzw. Fitting analysiert werden. Die dabei erhaltenen charakteristischen Koeffizienten repräsentieren, zusammen mit der Abbildungsvorschrift der trigonometrischen Reihe, eine vollständige Messung im Zeitbereich.