Komplexe Schreibweise

Durch die Einführung der komplexen Zahlen lassen sich unter anderem die trigonometrischen Funktionen erweitert beschreiben und somit viele technische Prozesse „eleganter“ modellieren. Speziell für die praktische Anwendung der Fourier-Transformation ist der Umgang mit der komplexen Interpretation der trigonometrischen Funktionen unerlässlich, da dieser einfache und effiziente numerische Berechnungsmethoden der FOURIER-Koeffizienten ermöglicht.

Eine komplexe Zahl \(z\) ist aus einem Realteil \(\Re(z)\)und einem Imaginärteil \(\Im(z)\) zusammengesetzt und lässt sich in der GAUßschen Zahlenebene geometrisch veranschaulichen. Der Kosinuswert der komplexen Zahl \(z\) entspricht dem auf die reelle Achse und der Sinuswert dem auf die imaginäre Achse projizierten Anteil. Es gelten dabei die bekannten Rechengesetze der „linearen Algebra“.

\[ \large{z=|z|(\cos x + i \sin x) } \]

Eine konjungiert komplexe Zahl wird gekennzeichnet, indem über sie ein Querstrich gesetzt wird. Sie weist die Eigenschaft auf, dass deren Realteil genau dem Realteil von z entspricht. Die Konjugierte zu \(z\) kann geometrisch als Spiegelung von \(z\) an der Realachse, oder gleichsam als Vorzeichenumkehr des Imaginärteils von \(z\) gedeutet werden.

Beim Potenzieren einer komplexen Zahl \(z\) bleibt deren Betrag konstant, und das Argument x nimmt das n-Vielfache der Potenzierung an. In der GAUßschen Zahlenebene betrachtet, rotiert ein auf \(z\) gerichteter Zeiger mit dem Betrag \(|z|\) bei der Potenzierung mit \(n\) unter der Phase \(x\) , um das \(n\)-Fache des Winkels \(x\) zur reellen Achse. Wird der Betrag von \(z\) auf den Einheitskreis normiert und \(x\) als zeitabhängige Variable mit der zeitlichen Änderung \(\omega t\) (Umlaufgeschwindigkeit) interpretiert, so gilt:

\[ \large{e^{ix}=\cos x + i \sin x} \] \[ \large{e^{i\omega t}=\cos \omega t + i \sin \omega t} \] \[ \large{\cos \omega t = \dfrac{1}{2}+ (e^{i\omega t} + e^{-i \omega t})} \] \[ \large{\cos \omega t = \dfrac{1}{2i}+ (e^{i\omega t} - e^{-i \omega t})} \]

Der Zusammenhang aus der Gleichung für \(e^{i\omega t}\) wird auch als EULERsche Identität bezeichnet und ermöglicht die Darstellung der trigonometrischen Funktionen in komplexer Form. Die reellen FOURIERKoeffizienten \(A_n\) bzw. \(B_n\) können somit in die komplexen FOURIER-Koeffizienten Cn überführt werden, was erhebliche Vorteile bezüglich der effizienten Berechnung mit sich bringt.

\[ \large{C_n=\dfrac{1}{T} \int\limits_{-T/2}^{+T/2} f(t)\cdot e^{-i \omega n t} \,dt} \] \[ \large{C_n^{(+)}=\dfrac{A_n-iB_n}{2} \quad \text{für} \, n=0,1,\dots,\infty} \] \[ \large{C_n^{(-)}=\dfrac{A_n+iB_n}{2} \quad \text{für} \, n=0,1,\dots,\infty} \]

Aus den komplexen FOURIER-Koeffizienten \(C_n\) lassen sich demzufolge die reellen An bzw. φn berechnen, mit denen sich das Ergebnis einer FOURIER-Transformation anschaulich in „spektraler Form“ einer Kosinusreihe darstellen lässt.

\[ \large{f_{FT}(x)=\dfrac{A_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty} (A_n \cdot \cos(n\pi x + \varphi_n))} \] \[ \large{A_n=2 |C_n|} \] \[ \large{\varphi_n=-\arg C_n} \]