Effizienz am VDI Modell
Die eingeführten Effizienzdefinitionen aus dem vorherigen Abschnitt sollen auf das in der Praxis weit verbreitete Berechnungsmodell nach der VDI 2333 angewendet werden. Diese theoretischen Untersuchungen dienen dem Zweck, auf Grundlage des Modellaufbaus einen optimalen Betriebspunkt für Vibrationsförderer abzuleiten und Vergleiche mit anderen Berechnungsmodellen zu ermöglichen. Die Korrekturfaktoren zur Überführung der „theoretischen“ in die „reale“ Fördergeschwindigkeit sollen bei dieser Betrachtung vernachlässigt bleiben, da diese lediglich gutspezifische Effizienzwerte liefern würden.
Aus den Gleichungen für die theoretische Fördergeschwindigkeit und der eingeführten Effizienzdefinition nach ergibt sich:
\[ \large{ E_{x/y} = \frac{|v_F|}{4\,f_B\cdot\sqrt{\widehat x^2+\widehat y^2}}=\frac{g\cdot \overline{n}^2}{8\,f_B^2\cdot\sqrt{\widehat x^2+\widehat y^2}}\cdot\cot \beta } \]Die horizontalen und vertikalen Anteile der Schwingungsbewegung \(\widehat x\) und \(\widehat y\) lassen sich als Amplitudenwerte in Richtung der Schwingebene unter dem Wurfwinkel \(\beta\) in \(\widehat q\) zusammenfassen.
\[ \large{ \widehat q = \sqrt{\widehat x^2+\widehat y^2} } \]Die Schwingungsbewegung des Förderorgans wird durch die Betriebsfrequenz \(f_B\) , den Wurfwinkel \(\beta\) und die Schwingungsamplitude \(\widehat q\) bestimmt. Diese Größen werden in der Wurfkennzahl \(\Gamma\) zusammengefasst:
\[ \large{ \Gamma = \frac{4\pi^2\cdot f_b^2\cdot\widehat q \cdot\sin\beta}{g} } \]Nach der folgenden Gleichung besteht zusätzlich ein funktioneller Zusammenhang zwischen der relativen Wurfzeit und der Wurfkennzahl.
\[ \large{ \Gamma(\overline n) = \sqrt{ \left( \frac{\cos(2\pi\cdot\overline n)+2\pi^2\cdot\overline n^2-1}{2\pi\cdot\overline n - \sin (2\pi\cdot \overline n)} \right )^2 +1} } \]Durch Einsetzen und Ersetzen der Restterme erhält man:
\[ \large{ E_{x/y} = \frac{\pi^2\cdot\overline{n}^2}{2\Gamma(\overline{n})}\cdot\cot \beta } \]In dieser Form lässt sich die eingeführte Effizienz als Funktion \(E_{x/y}( \overline n,\beta)\) angeben.
Die relative Wurfzeit ist allerdings abhängig von dem Betriebspunkt eines Vibrationsförderers, der durch die Größen \(f_B\), \(\widehat q\) und \(\beta\) gekennzeichnet wird und somit keine frei wählbare Größe darstellt. Diese Art der Darstellung weist dennoch den Vorteil auf, dass sich die Effizienz als dreidimensionale Fläche grafisch abbilden lässt, wobei durch das von \(\beta\) abhängige Funktionsargument \(\overline n\) Polstellen vermieden werden.
In der Abbildung ist zu erkennen, dass die Funktionen \(E_x(\overline n,\beta)\) und \(E_{x/y}( \overline n , \beta)\) ihr Maximum bei \(\overline n =1\) erreichen und folgende Maximalwerte annehmen:
\[ \large{ |E_{x/y}| = |E_x|_{max}=\frac{\pi^2}{2\sqrt{\pi^2}}\approx 1\text{,}50 } \]In der Praxis hat sich die Aussagekraft des Berechnungsmodells nach VDI 2333 in einen Bereich der relativen Wurfzeit von \(0\text{,}4\leq \overline{n} \leq 0\text{,}9 \) und einem Wurfwinkel von \(10° < \beta < 30°\) bewährt und als Berechnungsvorschrift etabliert. Als nahezu optimale Betriebsparameter haben sich die Werte \(\overline n \approx 0\text{,}85\) und \(\beta \approx 20°\) herausgestellt. Dies entspricht den Effizienzwerten von:
\[ \large{ E_{x/y}( \overline{n} = 0\text{,}85 ; \beta=20°) \approx 1\text{,}36 } \] \[ \large{ E_{x}( \overline{n} = 0\text{,}85 ; \beta=20°) \approx 1\text{,}45 } \]Über diese Effizienzgrenzwerte lassen sich nun Vibrationsförderer miteinander vergleichen, die bei unterschiedlichen Betriebspunkten arbeiten. Je größer der errechnete Wert \(E_{x/y}\) ist, desto effizienter arbeitet ein Vibrationsförderer, bzw. umso günstiger ist dessen Betriebspunkt gewählt worden.
Die in diesem Abschnitt ermittelten Effizienzgrenzwerte stützen sich auf das der VDI Richtlinie 2333 zugrundeliegende Berechnungsmodell der theoretischen Fördergeschwindigkeit. Dieses Modell ist nur für das Prinzip der Mikrowurfförderung unter eindimensionalen harmonischen Bewegungsformen gültig.