Gleitzustand

Im Gleitzustand steht das Fördergut mit dem Förderorgan in Kontakt und bewegt sich relativ zu diesem mit einer bestimmten Geschwindigkeit \(d\xi (t)/dt \). Lediglich die im übergeordneten Abschnitt beschriebene Kontaktbedingung \((F_N \geq 0)\) muss in diesem Zustand erfüllt sein.

\[ \large{ 0\leq (\ddot y +g) \cdot \cos \gamma - \ddot x \cdot \sin \gamma } \]

Der Relativbewegung wirkt die Gleitreibkraft \(F_R\) entgegen, die von der zwischen Gut und Förderorgan wirkenden Normalkraft und dem Materialpaarungskennwert \(\mu_G\) abhängig ist. Zur Vereinfachung wird der Gleitreibbeiwert nach dem COULOMBschen Reibmodell als geschwindigkeitsunabhängig angenommen.

\[ \large{ F_R=\text{sign}(\dot \zeta) \cdot \mu_G \cdot F_N } \] \[ \large{ F_R=\text{sign}(\dot \zeta) \cdot \mu_G \cdot m((g+\ddot y)\cdot \cos \gamma - \ddot x \cdot \sin \gamma) } \]

Die resultierende Trägheitskraft des Fördergutes in \(\xi\) -Richtung wird durch die Beschleunigung des Förderorgans und die Relativbeschleunigung zu diesem bestimmt.

\[ \large{ F_T = m(\ddot y \cdot \sin \gamma + \ddot x \cdot \cos \gamma + \ddot \zeta) } \]

Aus dem Kräftegleichgewicht lässt sich die folgende Differentialgleichung ableiten, die den Zustand des Gleitens unter der Kontaktbedingung beschreibt.

\[ \large{ F_T + F_R + F_G \cdot \sin \gamma = 0 } \] \[ \large{ \ddot \zeta = -\mu_G \cdot ((g+\ddot y)\cdot \cos \gamma - \ddot x \sin \gamma) \cdot \text{sign}(\dot \zeta)-((g+\ddot y)\cdot \sin \gamma + \ddot x \cos \gamma) } \]

Bei dieser Bewegungsdifferentialgleichung kommt es aufgrund der enthaltenen Signum- Funktion zu Unstetigkeiten, wenn das Fördergut seine relative Bewegungsrichtung ändert. Die Ursache dafür liegt in der modellierten Gleitreibkraft nach COULOMB, die stets entgegen der Bewegungsrichtung wirkt. Für die numerische Integration kann diese Unstetigkeitsstelle in Abhängigkeit des verwendeten Solvers zu Problemen bei der Auswertung führen. Aus diesem Grund wird die Signum-Funktion durch eine Arkustangens-Funktion approximiert und somit die Unstetigkeitsstelle beim Nulldurchgang durch einen stetigen Funktionsverlauf mit einem sehr starken Anstieg ersetzt. Diese Approximation ermöglicht die problemlose Verwendung eines Solvers mit automatischer Schrittweitensteuerung und verringert damit die notwendige Rechenzeit.

\[ \large{ \text{sign}(\dot \zeta) \approx \dfrac{2}{\pi}\cdot\arctan(10^{10} \cdot \dot \zeta) } \]